Александр Минаев родился 20-го августа 1958 года.  Свои первые шаги в большом футболе Александр Алексеевич сделал в 1976 году в рядах футбольного клуба «Волга» Горький. Громко заявив о себе уже в дебютном сезоне во второй союзной лиге, Минаев попал на карандаш селекционеров элитных клубов страны. В доворонежский период в его футбольной карьере значились выступления за куйбышевские «Крылья Советов» и «Торпедо» Москва. На счету лександра Алексеевича 176 матчей и 5 забитых мячей на высшем уровне чемпионатов СССР и России.

Начиная с 1983 года на протяжении 10 сезонов Минаев защищал честь воронежского «Факела», став любимцем воронежской торсиды и выбрав Воронеж местом постоянного жительства. Александр, придя в «Фа­кел», нашел себя, а коман­да обрела его. Он был красен не только игрой, но дружбой и верностью коллективу. Что скрывать, приглашали Минаева в другие команды. А он наотрез отказывался. Вместе с флагманом Черноземья дошел до высшей лиги СССР и вместе с другими Великими получил звание мастера спорта СССР. В 1990 году Минаев первый круг провёл в абовянском «Котайке», а затем вновь вернулся в Воронеж.

Всего в составе воронежцев Александр Минаев сыграл 293 матча, забив 67 мячей.

В высшей лиге чемпионата России Александр Алексеевич на протяжении четырех лет выступал за камышинский «Текстильщик» (1992—1995 гг). Закончил карьеру в 1996 году в клубе второй лиги «Металлург» Липецк.